在世界科学史中,中国传统数学是一颗灿烂的明珠。在中国传统数学中,“算经十书”是典型的代表。所谓“算经十书”,指的是中国十部古算书:《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》(元丰年间已失传,后来以《数术记遗》代之)、《缉古算经》。唐代时期,国子监内设算学馆,置有博士、助教,指导学生学习数学,规定这十部书为课本。许多人为这十部算书作注释,作增补删改,历代华夏子孙学习它,研究它,中国数学也因它而形成自身的传统并将此传统继承和发扬。“算经十书”就其内容来说,属于初等数学;就其数学思想和数学方法来说,则是十分高深的。下面,我们阐述其数学思想。
    1. 探索和追求精益求精的计算方法和技巧
    就数学内容而言,“算经十书”以善于计算而见长,并且这一长足的发展还被推进到让世界其他各国都望尘莫及的地步,这已是中外中算史家的共识。“算经十书”能如此辉煌耀目,是跟它着力探索和追求精益求精的计算方法和技巧分不开的。
    “算经十书”中最早的一种《周髀算经》,其第一章叙述了西周开国时期(约公元前1100年)周公与商高的一段问答。从这段问答中,我们可以见到我国早期数学思想的一些初步端倪。当周公问商高“夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度。请问数安从出?”时,商高答道:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩。矩出于九九八十一。”接着,商高还说:“故折矩以为句广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,环而共盘,得三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所由生也。”这里,我们可以清新地见到,我们祖先在早期“定天下”、“治天下”时,已经看到了数学的重要性(如大禹、周公);而掌握到一些数学知识的人(如高商),是注意数学思想和数学方法的。比如,我们从上述商高答问中,就可以看到,古人理解“数之所由生”,是将形与量结合起来考察的。圆和方都是形,而形是有数量关系的,从考察形可以探讨到“数之法”,但这形中又包含着丰富的数量关系,特别是平方关系(九九八十一)。数之法是从圆形和方形开始的。圆是内接正多边形经过无数次的倍边之后所得到的正多边形的极限(我国最早的极限思想,是不是来自于这种“圆出于方”的观念,希望读者引起注意)。矩是木匠用的曲尺,形如L,方中的直角,非矩不能作,所以说方出于矩。矩形的面积又不外于二数相乘,也就是说,要算出来。我国古代算法好凭口诀,而乘法口诀是从“九九八十一”起的,古人用“九九”作为乘法口诀的简称,故有“矩出于九九八十一”。这里所包含的用数的性质来研究形的性质的思想,与古希腊的数学思想旨趣相映。古希腊的毕达哥拉斯定理:a2+b2=c2 。而当a=b=1时,则
    c= ,这 既不是自然数,也不是自然数之比,所以不能是可接受的正常的数,被称为无理数,导致了第一次数学危机,从此古希腊数学发展的方向产生了大改变,“几何化”占了主导地位。[1]商高提出了着名的“句三股四弦五”这个勾股定理(也称勾股弦定理、商高定理),是从“折矩”而来然后得“积矩”的,3,4,5及其平方的关系可以体现出勾股定理,但中国并没有由此而产生数学危机,也没有发生发展方向的大改变,反而为“几何代数化”[2]这个中国传统数学发展主导方向奠定了很好的基础。中国早期讲究以算的方法去解决实际数学问题,是“数之所由生”的重要思想。
    在古代,不管是西方国家或中国,数学的发展都跟勾股定理结下不解之缘,这不是偶然的历史巧合,而是不同渊源和发展脉络的科学认识的一种必然交汇,其原因是由人们的实践活动决定的。作为人类早期的数学研究活动,很自然地会碰到考察形的性质及数量关系,直角三角形成为关注的对象是在情理之中。正如赵爽所说的,早期先人们(如大禹)能掌握有关的数学知识是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思维方式会导致数学发展的不同朝向,至少在初等数学领域内是存在的。古希腊在数、形简单和谐的观念被打破之后发生大转向,从重算发展到重证,发展到重视几何证明,往后的趋势就是有了这种发展趋势和成果的集大成标志——欧氏几何的产生,它是西方国家初等数学体系确立的标志,而中国此时并不发生方向的大改变,而是沿着算的道路继续前进,往广度和深度上延伸发展,导致的是中国传统数学体系的形成——《九章算术》的出现。《九章算术》中有许多具有世界意义的成就,如负数计算、分数计算、联立一次方程解法等,正是沿着探索计算的方法和技巧前进的结果。可贵的是,我们的祖先在此数学思想的指导之下,并不以原有的结果为满足,没有停留在原有的水平上裹足不进,而是精益求精地深入下去。如《九章算术》246道题,有解题方法202“术”,在当时有如此辉煌成绩已难能可贵,但三国魏晋时期的刘徽,就在《九章算术》的基础上,仔细作注,不但为《九章》提供了系统的理论依据,而且大力向前推进,提出了许多创见,将探讨和讲究精益求精的计算方法和技巧这种数学思想,提到一个更高的水平,并对后世的发展带来了深刻的实际影响,如他发现的割圆术,为后来祖冲之求得更精确的π值奠定了基础,唐李淳风注《九章算术》时说:“刘徽特以为疏,遂乃改张其率,但周径相乘数难契合。
    祖冲之以其不精,就中更推其数。”刘徽本人告诫人们他所得到的“徽率”太小,后人也正是沿着刘徽的思想方法再继续前进,将π值愈推愈精确。在求积问题上,刘徽也有突破,他提出了推求球体积的着名的“牟合方盖”理论,之后,祖暅在刘徽研究的基础上,精益求精,得到了闻名于世的“祖暅定理”,并具体求出了“牟合方盖”。这长江后浪推前浪,一浪更比一浪高的中国高超的算法技巧,正是在一条清晰的传统思维途径――探索和讲求精益求精的计算方法和技巧中进行和取得成就的。如《张丘建算经》自序中这样写道:“其夏侯阳之方仓,孙子之荡杯,此等之术皆未得其妙。故更造新术推尽其理。”在探索精益求精的算法道路上更上一层楼,就是《张丘建算经》的数学指导思想,正是在此思想的指导之下,出现了举世闻名的“百鸡问题”。
    2.讲究明确的思想依据
    数学思想研究的是数学产生和发展的思想方法和思想依据。“算经十书”不仅在数学知识上光彩耀目,在数学思想上也独树一帜,其显着的特点是对于作为每项有意义的数学成果,都讲究其明确的思想依据。
    刘徽精细地注释了《九章算术》,从而确立了中国传统数学理论体系。刘徽的数学思想和方法,对后世影响极深。如王孝通在《上缉古算经表》中云:“徽思极毫芒,触类增长。”说刘徽的思想方法是“一时独步”。而刘徽对自己所接触和研究的数学,是十分讲究明确的思想依据的。“算经十书”中有二部与他密切相关。《九章算术》由于有了刘徽注,从此中国传统数学有了自己的理论体系;他在注《九章算术》时补撰“重差”,其单行本即《海岛算经》。刘徽注《九章算术》时,十分讲究数理之道要有明确的思想依据。在《九章算术》注原序中,刘徽说:“徽幼习《九章》,长再详览。观阴阳之割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作注。事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干者,知发其一端而已。又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。”在“圆田术”注中,刘徽写道:“不有明据,辩之斯难”,于是,他在创造“割圆术”的同时,还告诉人们此种创造是有依据的:“谨接图验,更造密率。恐空设法,数昧而难譬。故置诸检括,谨详其记注焉。”在“开立圆”(由球的体积以开立方的方法求其直径)注中,刘徽创立了“牟合方盖”理论,他不仅介绍了有关方法,而且还言明思想依据,“互相通补,……观立方之内,盒盖之外,虽衰杀有渐,而多少不掩。判合总结,方圆相缠,浓纤诡互,不可等正。”但他又担心依据不足,惟恐理法相违,专门作了交待,以待后人获得更严密的依据:“欲陋形措意,惧失正理。敢不阙疑,以俟能言者”。从中我们不仅见到先哲们对探讨数理的思想依据的重视,也深深领悟到他们治学严谨的高尚风范。在谈到将割圆术作为解决有关极限问题的工具时,刘徽也阐述了其思想依据:“数而求穷之者,谓以情推,不用算筹”(“阳马术”注)。意思是说,数学中凡解决有关无穷之类问题时,不必用算筹去计算,应当用数学思想去把握。再拿《海岛算经》来说,刘徽为什么要写《海岛算经》呢?其思想依据是什么?在《九章算术》刘徽注原序中,刘徽清楚的说明“苍等为术犹未足以博尽群数也”,于是“辄造重差,并为注解,以究古人之意,缀于句股之下”,“以阐世术之美”。而造“重差”此术的思路是:要测量不可到达目的物的高和远时,一次测望不够,于是采用二次测望、三次测望、四次测望,即“度高者重表,测深者累矩”(“重表”或“累矩”就是用表或矩测望两次)、“孤离者三望”、“离而又旁求者四望”。更为深刻的是,刘徽并不是勉强、被动地去考究数学知识之思想依据的,他认为数学思想与数学知识之间本身具有非常紧密的联系,他用庖丁解牛来阐述此层道理:“更有异术者,庖丁解牛,游刃理间,故能历久其刃如新。夫数犹刃也,易简用之则动中庖丁之理,故能和神爱刃,速而寡尤”(《九章算术》方程术注)。
    自刘徽之后,“算经十书”的着者都较注意阐述算理要有明确的思想依据,如四库总目 提要中称:《张丘建算经》之体例,皆设为问答,以参校而中明之,简奥古质,与近求不同,而条理精密,实能深究古人之意。正因为此书注意讲究数学的思想依据,因而对掌握数学知识的来龙去脉很有益处,“故唐代颁之算学,以为专业”。就是在我国近年的中学数学课本中,还列有《张丘建算经》的题目。
    此外,“算经十书”中关于数学证明的部分,也讲究要有明确的思想依据。[3]
    3.着力于灵活和广泛的应用
    中国传统数学十分着力于灵活和广泛的应用。拿“算经十书”最早的一部《周髀算经》来说,东汉末至三国时代的吴国人赵爽曾对《周髀算经》逐段进行详细的注释。在赵爽注释中有这样写道:“禹治洪水,决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,释昏垫之厄,使东注于海而无侵逆,乃句股之所由生也。”又据《史记?夏本纪》记载,大禹治水时,“陆行乘车,水行乘舟,泥行乘撬,山行乘撵,左准绳,右规矩。”赵爽的注释和《史记》的记载(山东五梁祠画像石中有幅大禹治水图)都说明了我国早期注意从实践中提炼数学知识并将掌握的数学知识应用到实践中去。《周髀算经》中记载的“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远。环矩以为圆,合矩以为方”都充分体现了将数学知识(包括数学器具)着力于在实践中应用的思想。我国是一个农业古国,田地面积的量法极需要数学为它提供手段,储囤粮食、建筑城墙、开沟挖渠等都需要有计算体积的方法,如求方田、广田、圭田……的面积,求城、……的体积,都十分需要有一定的数学工具为人们提供解决问题的手段。我国古代很早就推行按亩收税、两税法的赋税制度,兑换、分配的需要以及工商业的发展,促进和加强了将数学知识应用于实践。再从中国封建统治者来看,他们也极需要精确地计算田亩面积,合理安排赋税,来发展封建社会的经济,巩固封建王朝的统治。特别是天文历法,它对于历代统治者来说,都是至关重要的,似乎它就是封建王朝统治者兴衰的象征。封建统治者需要颁布历法,历法的制定又离不开数学。因此,在古代中国,不管是“民间”或“官方”,都要求数学研究与实践经验相结合。《周髀算经》旨在阐明宇宙结构学说“盖天说”;《九章算术》九个章都与实践紧密相关;《海岛算经》用以解决测量推算远处目的物的高、深、广、远问题;《孙子算经》所选的大部分都是解决实际情况的应用题;《夏侯阳算经》引用当时流传的乘除捷法,为的是要解决日常生活中的应用问题;《张丘建算经》上、中、下三卷,大部分都是涉及到解决测望、方圆幂积、商功、均输、方田等现实的实际问题;《五曹算经》分别叙述计算各种形状的田亩面积、军队给养、粟米互换、租税、仓储容积、户调的丝帛和物品交易,即所谓的田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹等五曹的应用问题;《五经算术》则是力图将古代经籍的注释中有关数字计算的知识与历法、乐律的研究结合起来,另有旨趣;《数术记遗》中载有运用数学知识解决实际问题的数学器械,如积算、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数等。这些,非常雄辩、实在地体现了我国传统数学思想的鲜明特色。