张景中院士写了一本书,作为献给中学生的礼物,书的名字叫做《数学家的眼光》 。当我看到这本书时,首先就被书名"镇"住了!--数学家的眼光,在平白的语言后面蕴藏着多么深邃的哲理!当我看完了这本书以后,我更真切地感受到这不仅是院士送给中学生的礼物,而且是送给中小学数学教育工作者的礼物!感受到它对数学教育所具有的巨大的启迪意义!
    数学教育的目的是什么?我们可以说出一大堆!其实这一大堆目的,基本上可以概括成一句话,就是为了让学生学会用数学(家)的眼光看世界!
    怎样才能学习好数学?学习的方法也可以说出一大堆,其实这一大堆,从根本上说,也可以概括成一句话,就是要学习并尝试用数学(家)的眼光看世界!
    怎样才能教好数学,教学方法也可以说出一大堆,其实这一大堆,也可以概括成一句话,就是教师自身要学会用数学的眼光看世界,更要引导学生用数学的眼光看世界!  
    数学教育的实质就在于让学生用数学(家)的眼光看世界,这应该是文化数学教育方式的核心观念!
    那么,什么是数学家的眼光呢?数学家的眼光有什么样的特点?为什么我们要让学生学着用数学家的眼光看世界?又怎么样才能让学生学会用数学家的眼光看世界呢?这就是我们在这里要讨论的问题。
    活生生的数学文化
    用数学家的眼光看世界,就是从数学的视角观察,感受,认识,描述,理解以至创造世界!
    让我们来看几个例子。
    1。陈省身质疑三角形内角和定理。
    1980年,陈省身教授在北京大学的一次讲学中对三角形内角和定理作出质疑。他说:"人们常说,三角形内角和等于180°。但是,这是不对的!"
    三角形的内角和等于180°这是一个熟知的定理,为什么说它不对呢?
    陈教授对大家的疑问作了精辟的解答:
    说"三角形内角和为180°"不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对.应当说:"三角形外角和是360°"!
    这是为什么呢?因为任意n边形外角和都是360°。把眼光盯住外角,就可以把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了;用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式,找到了-个更一般的规律。当然也是一个更简单的规律!
    由此可见,尽管命题"三角的外角和为360°"和命题"三角的内角和为180°"是等价的,但是在数学家看来,这是不同的!因为在形式上,后者更简单,因此就更美,也就更有价值!事实果真如此,正是这与众不同的眼光,使陈教授抓住了更有价值的内角和,并由此出发,进一步把"多边形内角和等于360°"这个规律推广到闭曲线,推广到空间,进而发展为着名的陈氏类理论,做出了划时代的贡献。
    这就是数学家的眼光!在这透彻、犀利的目光中,折射出来的是数学家的价值观和审美观,是数学家的穷追不舍,孜孜以求的探索真理的精神。
    2。华罗庚的问题。
    谁都看见过茶杯,面对着茶杯也有人提出过形形色色的问题,可是你很难想到华罗庚教授提出的问题。华先生在一次对中学生的讲演中,指着讲台上的茶杯问大家:为什么茶杯盖不会掉到茶杯里去呢?
    许多入会对这个问题不屑一顾,他们会说:这还要问?盖子比口大嘛!
    果真是这个原因吗?华先生说:一种正方形的饼于盒,盖子比口大,可是一不小心还是会掉下去!这是什么原因呢?
    有人会说:这是因为正方形的饼干盒口的对角线长度大于盒盖的边长,由此可见,关键是正方形盒盖的宽度不均匀,从某个方向看太窄,正如栅栏不太密时,人可以从侧身钻进去一样。
    可是华先生并不满足于这样的答复。他进一步追问:什么是封闭图形的"宽度"?除了圆形,还有什么形状的盒子,它的盖子不会掉进去?
    接着华先生给出了一种各方宽度相等的"三角拱形"(类似于裁缝用的划粉的形状)。但是,华先生并没有停止思考,他继续追问:还有其它各个方向"宽度"相同的图形吗?
    从上面的例子中,我们可以看到,华罗庚先生作为数学家所特有的眼光,他们对数量和形状的敏锐,对问题精确表述的苛求,对问题的穷追不舍探究精神,这都是数学家所共同具有而为一般人所或缺的,而这一切也正是造就数学家眼光的重要因素。
    3。数学家波拉克的问题
    你一定逛过大型超市,琳琅满目的商品,熙熙攘攘的人群,你会关心什么呢?应用数学家波拉克,谈到了他关心的东西,他说:
    如果你走进一家超市,通常会看到在几个付款柜台中,有一个标有"快速付款通道"的柜台,上面写着:您购买的商品在X件以下,请在此付款。如果你观察一下"这个数,会发现每家超市的X值各不相同。在我的家乡,A&P超市规定为6件;ShoP-Rjte超市规定为8件;而Kings超市则规定为10件。我还发现全国各地的超市对值X的规定从5到15件都有。X值变化如此之不同,让我们无法判断哪个数值更正确。我们不禁要问,允许在快速付款通道付款的商品件数到底应该是几件呢?
    波拉克把超市看成一个数学背景,这是一般人几乎不会具有的观点。对大多数人来说,允许从快速付款通道通过几件商品只不过是该超市的具体规定而已,作为顾客只要按规定执行就是了!但在波拉克看来,这个数是个变量,如何确定这个变量的"正确"数值是一个最优化问题!这种以数学方式来观察各种现象的习惯已经成为他的行为准则,成为数学家个性的一部分!
    波拉克还讲到他在亚那桑那州的经历,他说:
    亚里桑那州有多少树形仙人掌的高度超过6英尺?我从书上看到树形仙人掌是一种危险植物。开发商建造新公寓时,要把这些仙人掌都砍光。二三年前,我去亚里桑那州时,便想估算一下还剩多少仙人掌没被砍掉。我算出的答案是108。我来给你们说说,我是怎样算出这个答案的。这些仙人掌的生长布局似乎很有规则,株距差不多都是50英尺左右,那么每一英里长就有102棵仙人掌,也就是说每平方英里有104棵。而生长有仙人掌的地区至少有50×200平方英里的面积。于是,我便得出104×104这个答案。我请亚里桑那州的一些教师也来估算一下,结果他们却茫然不知所措,不知如何入手。
    波拉克为什么要估算仙人掌的颗数呢?他有什么目的吗?
    没有!
    波拉克估算仙人掌的颗数,只是一个数学家近乎本能的反应!这是数学家的习惯!
    因为出于职业的本能,作为数学家波拉克对事物的数量、对于关系、结构特别的敏感,有一种特别的兴趣,对量化和模型化的偏好,于是他自然而然地提出了问题,然后又根据可以获得的数据大概作了估计。所有这些已经是数学家个性的一部分,是数学家特有的观念。非数学家阶层的人员(如和波拉克讨论这一问题的教师)是不具备这种典型的观念,因而也不可能本能地做出这样的反应的。
    从上面的例子可以看到,数学家的眼光,具有丰富的内涵,它不仅包括数学家的思维方式,数学家的价值观,审美意识,数学家看问题的角度和行为规范。我们已经看到,作为一个社会群体的数学家,虽然有个体上的差异,但是却重现出了很多共同的联系。数学家们有着共同关心的问题,共同的价值标准、共同的语言、共同的行为方式和审美标准。因此,广义地说,数学家的眼光就是作为一个社会群体的数学家共同的生活方式。它是活的"数学文化"!和数学知识、技能相比,数学家的眼光也是数学文化中更为宝贵的财富,是最有价值的东西。因此,也是学生最应该学习的东西。
    社会化的学习途径
    要学好数学就首先就要尝试着就用数学家的眼光看世界。
    这是一个具有一般性的命题。人们不是常说,要学好学问,首先就要学做人嘛?在数学学习中,怎样学习做人?学做什么样的人?这当然就是要学做数学家!要学习数学家的"人品"。而要学做数学家,当然首先就要学习数学家的眼光!
    其实这样的论断,不仅对数学来说是对的,对各行各业也差不多都是正确的。
    你要学好物理,就要学会用物理学家的眼光看世界。
    你要学做律师,就要学会用律师的眼光看世界。
    甚至学做裁缝,也要学会用裁缝的眼光看世界。
    数学教育家莱夫具体考察了"学做裁缝"的过程,对此,数学教育家舍恩菲尔德将莱夫的看法做了如下的概述:
    做一名裁缝不仅需要掌握一系列裁缝技能,还需要掌握一种思维方式,一种理解方法以及一系列价值观和观点。在裁缝巷,学习裁缝课程和学做一名裁缝是不可分割的两个组成部分:学徒在裁缝阶层中是边干边学的。他们周围都是短工、裁缝师傅,他们向这些前辈学习各种技能--并在生活的这个环境中,向前辈学习各种价值观和观点。尽管在正规的裁缝课程中并没有这些价值观和观点,但是它们在这个环境中、在学徒学习的东西中具有决定性作用。学徒不断学艺,设法进入裁缝阶层。而他们学成之后,不仅掌握了一系列技能,还学会了一种观点,这两部分决定了他们成为一个裁缝。
    在这里,莱夫强调的是"思维方式"和"价值观"。(它们都是观念的组成部分)实际上,从事任何一种职业都要学会相应的"思维方式"并建立起相应的观念。
    这说明,学习实际上是一个社会化的活动,当我们的目光在关注具体的知识和技能的同时,更要关注价值观和思维方式这类隐蔽的处于更高层次的东西,只有这些才是具有决定意义的。
    特别对于从本质上来说就是思维(精神)活动的数学来说,观念就更具有决定性的意义了。
    数学教育家雷斯尼克说:
    "近来,人们就认知过程的性质展开了一系列研究工作,对思维和学习进行了重新认识,并指出要成为好的数学问题解决者--要在任何领域中成为好的思维者,可能最重要的是在获取各种特定技能、策略和知识的同时,不断养成一种习惯和个性,对事物作出解释,理解其中的意义。如果情况确实如此的话,我们更好的作法也许是,不应老是把数学教育看作是-个教学过程(传统意义上的那种把各类具体、明确的技能或知识点教给学生的做法),而应把它看作是-个社会化过程。"
    让学生尝试用数学家的眼光看世界,这正是数学学习社会化的具体方法。雷斯尼克认为:实现社会化的关键就是要"把各种观点作为知识的核心部分"来学习,而数学观念正集中地体现在数学家的眼光之中,活生生地体现在数学家的活动之中!
    而学习数学就是学习"用数学家的眼光看世界"的观点正是上述观点的反映。
    应该指出的是:尝试用数学家的眼光看世界,强调数学学习的社会化,并不等同于强调数学的应用,也不等同于数学学习的"生活化",尽管它有这种倾向,但是其中的内涵要比后者丰富得多!因为数学家的眼光并不仅仅(甚至主要的)总是盯着应用,也不总是仅仅关注着"生活",他们追求的是认识、发现、创造一个和谐的、美的世界!
    初步的实践
    令人欣喜的是,尽管让学生尝试用数学(家)的眼光看世界的观点还远远没有被人们接受和重视,但是,在具体的教学改革的实践中已经得到了体现。
    例如,在新的数学教学标准中,已经把"初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识"等等内容列入了数学教学的总体目标(尽管这一目标还是被置于"应用意识"的框框里),但是总算"用数学的角度看世界"的重要方面。
    这样的思想,在按新课标编写的教科书中也得到了充分的体现。例如在北师大版的实验教材第三章"用字母表示数",编入的题为"探索规律"的"日历问题":
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
    1 2 3 4 5
    6 7 8 9 10 11 12
    13 14 15 16 17 18 19
    20 21 22 23 24 25
26
    27 28 29 30 31 
    (1)日历表的方框中的9个数之和与该方框中的数有什么关系?
    (2)这个关系对其它的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗?
    (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么?
    (4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其它关系吗?用代数式表示。
    面对着这样的问题,学生必须审视日历表中各个数中的数量关系,(而这在以前他们对此是熟视无睹的);为了回答这些问题,为了清楚地表示这个关系,为了说清"为什么",他们必须选用数学语言!特别是当他们试图发现新的关系时,更会感受到数学语言的作用。(实际上,为了发现新的关系,学生开始是直接把日历表当成观察的对象的,但是后来,他们就会发现,用字母表示的方框是更好的观察对象了!)因此,从这样的探究活动中,学生会更为关注事物的数量关系,关注个别事物后面隐藏着的模式;会感到用数学语言进行交流的便利,会感到探究的乐趣。而这一切,都会促使学生学着用数学(家)的眼光看待周围的事物。如果我们能注意到学生在这里经历的探索过程在程序上和数学家的探索过程的一致性的话(例如和前面引用的华罗庚教授在茶杯盖问题中的探索过程相比较),就更会相信编者在这里所做的一切都是在引导、帮助学生用数学家的眼光看世界!
    (这里附带说一下,原来问句(2)中"你能用代数式表示这个关系吗"应该取消.因为仅仅从"表示这个关系"的角度看,学生还没有体会到代数式的作用。但是当学生回答问题(3)中的"为什么"时,就会有怎么说都说不清楚的感觉,这就逼着他们走上用代数式表示这个关系的道路。因此,问题(2)中的问句实际上对学生做了没有必要的暗示,缩小了学生思考的空间,是不妥当的。)
    a-8 a-7 a-6
    a-1 a a+1
    a+6 a+7 a+8
    从学会提出问题开始
    学习用数学家的眼光看世界,可以从学习提出数学问题,特别是建立提出数学问题的意识开始。正如张景中教授所说:"当你用数学家的眼光看周围的事物的时候,处处都能提出数学问题","但是数学家不喜欢含含糊糊的问题,先要把问题理清楚,把现实世界的问题化成纯数学的问题。"要提出数学问题,就必须从数学的视角审视周围的事物,因此可以看成是让学生学会用数学家的眼光看世界的突破口。
    下面这一节别开生面的数学课,可以说在这方面作了有益的尝试。
    这是一节安排在一元一次方程的应用后面的习题课。课的题目叫《阿偶繁忙的一天》。课的进程可以概括为两项:(1)根据教师提供的材料提出数学问题;(2)解决上述提出的问题。
    课的开头,教师来了一段简短而又富于激情的开场白,意思是生活中充满了数学,只要用数学的眼光来观察周围的事物,就会提出和发现许多数学问题,得到许多意想不到的发现。现在我们就尝试一下,看看我们能不能做到这一点?
    接着教师出示了名为《阿偶繁忙的一天》的材料,要求学生根据这个材料提出问题。
    阿偶繁忙的一天
    阿偶今天上午要到人才市场去应聘,早晨起床后,他精心打扮了一番,发现领带和西服不太相配,于是决定去世纪大厦重新买一条。
    到了那儿,大厦刚开门,售货小姐送上了一个灿烂的笑容,"祝贺您,先生!您是本店今天的第一位顾客,将享受---件商品的8折优惠。"谢谢!我需要--条和这身西服相配的领带"。售货小姐立即帮他选了一条,并介绍说,"这原是按成本提高40%后标的价,现在给您打8折,实际我们只赚了您5元。"阿偶看着标价算了算,对售货小姐说:"你说谎了,按你的算法,你实际上赚了我15元!"
    刚走出店门,手机突然响了,-看是父亲打来的,"阿偶,我昨天收到了--笔稿费,你去帮我把个人所得税交-下"。于是阿偶赶到税务所,询问有关稿费的交税情况。工作人员给他看了国家规定个人发表文章出版图书获得稿费的纳税计算方法:1。稿费不高于 800元的不纳税;2。稿费低于800元而不高于4000元的应交纳超过800元的那一部分稿费的20%;3。稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税,阿偶根据父亲告诉他的稿费,帮他缴纳了个人所得税434元。然后直奔人才市场。
    哇!市场内真是人山人海,人才济济!经过一番比较,一番自荐,有实力相当的龙腾和龙飞两家公司都愿招聘阿偶,但工资有如下差别:龙腾公司年薪10000元,每年加工龄工资200元,龙飞公司半年薪5000元,每半年加工龄工资50元。阿偶左思右想,最后从经济收入角度考虑,阿偶选择了其中的一家公司,乐滋滋的回家了。
    学生对教师的要求做出了出乎意料的热烈的反映。提出了很多想象不到的问题,(例如,是卖领带的小姐还是阿偶说谎了?所得税是按第2种方式还是按第3种方式算?等等)并为解决这些问题展开了激烈的争论。有意思的是,在他们谁也说服不了谁的时候,都拿起了数学这个武器--试图用计算来证明自己是正确的!在这里我们高兴地看到了莱布尼兹所憧憬的现象:在为某个问题争执不下的时候,发生争执的双方都能心目平气和地拿出纸和笔来说:让我们来计算,让计算的结果来说明谁是正确的!--真的,我真地感受到了理性精神的力量,看到了我们的学生在接受理性精神的熏陶,我真是由衷的高兴!也更加相信,我们的数学课应该也可以让学生学会用数学家的眼光看世界!(遗憾的是,由于篇幅的限制,我不可能在这里具体地描述出课堂上的情况,但我希望有可能的话,有兴趣的读者可以实地的上一节课试试,看看究竟会有什么样的效果!)
    最后,应该指出的是,我们主张学生用数学(家)的眼光看世界,并不是企求学生都成为数学家!这不仅是不可能的,而且如果真的是这样,对社会来说,将真是一场灾难!我们的意思是说,数学教育只是学生所接受的教育的一个组成部分。数学教育只有充分地体现出数学的特点,才真正地发挥了它的作用,也才有存在的价值。未来的学生必须有广阔的目光,他们应该能从各样的视角来审视世界,--从历史的角度,从文化的角度,从艺术的角度,从科学的角度--无疑地还应该会从数学的角度来审视世界!如果做不到这一点,我们的学生就不能接受时代的挑战,我们的教育就是失败的。为此,数学教育要让学生用数学的眼光看世界,物理的教育应该让学生用科学的眼光看世界……唯有如此,才能让学生全面地接受人类文化的精华,使他们成为站在巨人肩膀上的巨人.